دانشنامه تخصصی مهندسی ایران

دانشنامه تخصصی مهندسی ایران

 engpedia   راه اندازی کانال تلگرام ( EngPedia_ir@ )

                همراه با مطالب ویژه سایت بصورت رایگان

  • نسخه ۱۲.۱ نرم افزار Aveva Marine در سایت قرار گرفت. (اینجا)
  • نسخه ۱۰.۵۲ نرم افزار Plus 2D در سایت قرار گرفت. (اینجا)
  • نسخه ۱۱.۰ نرم افزار AGI Systems Tool Kit-STK در سایت قرار گرفت.(اینجا)

همکاران

نمادگذاری شاخصی

مدیریت شهریور ۱, ۱۳۹۳ 2308 بازدید ۰دیدگاه
  1. مقدمه

نمادگذاری شاخصی کاهش زیادی در جملات یک معادله و رابطه داشته و تاحد زیادی رابطه را عام و یا ساده می کند. بنابراین معمولاً در گزارشها و مقالات اخیر، که در آنها راجع به تنش، کرنش و معادلات پایه بحث می شود، زیاد بکار می روند. به این لحاظ، یک درک، شناخت و اطلاعات پایه از این نمادها در فرضیه های خمیری، مدل سازی و فرآیندهای شکل دهی فلزات لازم است. با این نمادها، روابط بین تنش و کرنش به شکل خلاصه بیان شده و توجه بیشتر به اصول فیزیکی رابطه و معادله آن می شود.

tensor

  1. قرارداد جمع، شاخصهای تکراری یا کاذب (dummy index)

جمع زیر را در نظر بگیرید:

  1.                         

    معادله فوق را می‌توان با استفاده از علامت جمع، به شکل فشرده نوشت:

  2.                                     

    واضح است که معادلات زیرین، دقیقاً هم معنای معادله ‏(۲-۲) می‌باشند:

  1.                                     

 

  •                                         

    و غیره.

    شاخص i در معادله ‏(۲-۲)، یا j در معادله ‏(۲-۳)، یا m در معادله ‏(۲-۴) یک شاخص تکراری یا کاذب هسنتد و یکبار در عبارات تکرار شده اند و نتیجه جمع، از حرف به کار برده شده، مستقل است.

    صورت معادله ‏(۲-۱) را با قرارداد زیر می‌توان بیشتر ساده نمود: هرگاه شاخصی یک بار تکرار شود، یک شاخص تکراری و یا کاذب بوده و مبین جمع روی شاخص با حوزه تغییر اعداد صحیح ۱، ۲ ، … ، n می‌باشد.
    این قرارداد، به عنوان قرارداد جمع
    انیشتین مشهور است. معادله ‏(۲-۱) با استفاده از این قرارداد، به صورت زیر خلاصه می‌شود:

    1.                                 

    توجه کنید که:

  •                             

    در این جا بایستی تأکید کرد که عباراتی نظیر در حوزه این قرارداد نمی‌گنجد. یعنی هنگامیکه قرارداد جمع اعمال می‌شود، یک شاخص، هرگز نباید بیش از یک بار تکرار شود. بنابراین، عبارتی نظیر:



    باید علامت جمع خود را حفظ کند.

    برای آنچه در پیش است، همواره n را برابر ۳ انتخاب می شود. به عنوان مثال:

    واضح است که قرارداد جمع را می‌توان برای نشان دادن یک جمع دوگانه یا سه گانه و غیره به کار گرفت. به عنوان مثال می توان عبارت

    1.                                 

    را به صورت ساده زیر نوشت:

    1.                                     

    بسط کامل عبارت ‏(۲-۸) ، جمعی با ۹ جمله را به دست می‌دهد، یعنی

    1.             

    احتمالاً برای مبتدیان بهتر آن است که بسط فوق را در دو مرحله انجام دهند،‌ نخست جمع روی i و سپس جمع روی j (و یا بالعکس). یعنی



    که


    و غیره.

    به طور مشابه جمع سه گانه

    1.                     

    به سادگی بصورت زیر نوشته می‌شود:

    1.                                     

    عبارت ‏(۲-۱۱) نشانگر یک جمع با ۲۷ جمله است.

    مجدداً تأکید می‌شود که عباراتی نظیر یا در قرارداد جمع، تعریف نمی‌شوند، این عبارات نمایشگر جمعهای زیر نیستند:


        یا     

    1. شاخصهای آزاد

    دستگاه سه معادله زیر را در نظر بگیرید:

    1.         

    با استفاده از قرارداد جمع، معادلات ‏(۲-۱۲) را می‌توان به صورت زیرنوشت:

    1.                         

 

که می‌توان آنها را به صورت زیر خلاصه نمود:

 

  •                 

    شاخصی که تنها یک بار در هر یک از جمله‌های یک معادله – نظیر شاخص i در معادله ‏(۲-۱۴) ظاهر می‌شود شاخص آزاد خوانده می‌شود. شاخص آزاد، در هر زمان یکی از اعداد صحیح ۱، ۲، یا ۳ را می‌پذیرد. بنابراین، معادله ‏(۲-۱۴) خلاصه سه معادله‌ای است که هر کدام شامل سه جمله در طرف راست خود می‌باشند[یعنی معادلات ‏(۲-۱۲)].

    معادله زیر مثال دیگری است:

    1.          ,

    که مبین معادلات زیر است:

    1.                             

 


توجه شود که ۳ ، ۲ ، ۱j = ، نظیر معادله‏(۲-۱۴) و ۳ ، ۲ ، ۱j = ، نظیر معادله ‏(۲-۱۵) می‌باشد. معادله بی‌معنا است. شاخص آزاد (که در تمامی جملات یک معادله ظاهر می‌شود) باید یکسان باشد. بنابراین، معادلات زیر دارای معنی هستند:


چنانچه در یک معادله، دو شاخص آزاد ظاهر شود ، نظیر

  1.                     

آن‌گاه، معادله خلاصه شده ۹ عبارت خواهد بود. به عنوان مثال، معادله ‏(۲-۱۷) ۹ عبارتی را نمایش می‌دهد که هر کدام دارای سه جمله در طرف راست می‌باشند . در حقیقت :






مجدداً معادلاتی نظیر

فاقد معنی هستند.

 

 

  1. دلتای کرانکر

دلتای کرانکر (که با نمایش داده می‌شود) به صورت زیر تعریف می‌شود.

  1.                 

یعنی

                                    



به عبارت دیگر، ماتریس دلتای کرانکر یک ماتریس واحد است. یعنی

  1.                 

به موارد زیر توجه شود:

  1.                     


یا به طور کلی

  1.                             

                    


یا به طور کلی

  1.                                     

و به خصوص

                                    



و غیره.

(د) اگر ، ، بردارهای یکه عمود بر هم باشند، آن گاه

  1.         
  1. نماد جایگشت (تانسور تبدیل)


نماد جایگشت، که با (تانسور مرتبهسه) نشان داده می‌شود، به صورت زیر تعریف می‌گردد:

یعنی

                            

                                 

و


توجه کنید که


اگر، ، یک دستگاه سه عضوی راستگرد را تشکیل دهند ، آن گاه

     e۱´e۲=e۳ ،
e۲´e۳=e۱ ،
e۲´e۱=-e۳، e۱´e۱=۰، …

که می‌توان آن را به صورت زیر خلاصه کرد:


حال اگر و باشند، آن گاه

                

یعنی

  1.                         

اتحاد مفید زیر را می‌توان اثبات نمود :

  1.                              
  1. عملیات با نماد گذاری شاخصی

(الف) جایگزینی

اگر

                          (i)

        
          (ii)

آن گاه برای این که ها در (ii) ، را در (i) جایگزین سازیم ، نخست شاخص آزاد عبارت (ii) را از i به m و شاخص کاذب را ازm به حرف دیگری ، مثل n تغییر می‌دهیم ، به طوری که

                         (iii)

در اینصورت، از (i) و (ii) عبارت زیر حاصل می‌شود

                                 (iv)

توجه کنید که (iv) مبین سه معادله است که هر کدام شامل ۹ جمله در طرف راست خود می‌باشند .

(ب)ضرب

اگر

                              
         (i)

و

                              (ii)

آن‌گاه

                               (iii)

توجه به این نکته مهم است که . در حقیقت طرف راست عبارت، حتی در قرارداد جمع تعریف نشده است و نیز واضح است که



چون ضرب داخلی بردارها توزیع‌پذیر است، لذا اگر و باشند، آن گاه

                             (iv)

به خصوص اگر بردارهای یکه عمود بر هم باشند، آن گاه به طوری که

                     (v)

(پ) فاکتورگیری

اگر

                                      (i)

با استفاده از دلتای کرانکر می‌توان نوشت:

                                          (ii)

از این رو (i) چنین می‌شود

                                  (iii)

بنابراین

                                  (iv)

 

(ت) اختصار یا انقباض

عمل یکسان سازی دو شاخص و سپس جمع‌ آنها را انقباض گویند. هر انقباض دو مرتبه در عبارت کاهش می دهد. به عنوان مثال انقباض می‌باشد:

                                      (i)

و انقباض است.

اگر

                                  (ii)

آنگاه

                          (iii)

 

———————————————————————

Download4 یاتاقانهای مغناطیسیدانلود فایل PDF

password یاتاقانهای مغناطیسی  پسورد: engpedia.ir

نظرات شما باعث دلگرمی و پیشرفت ما می شود.

telegram: @EngPedia_ir

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *