هدف از این مثال بدست آوردن توزیع انتقال حرارت در صفحه زیر با برنامه MATLAB می باشد. توزیع درجه حرارت در یک صفحه مستطیلی با دمای مرز بالای 0 درجه زانکین و دمای مرز پایین 100 رانکین و دمای مرزهای راست و چپ 0 درجه رانکین به دست آورده شده است.

Heat Transfer in MATLAB

ابعاد صفحه مستطیلی 1 فوت در 2 فوت است. تمام شرایط مرزی از نوع دما ثابت هستند. هندسه صفحه مستطیلی در شکل زیر نشان داده شده است.

معاله دیفرانسیلی پاره ای برای انتقال حرارت دوبعدی دایم به شکل زیر است:

پس از گسسته سازی معادله دیفرانسیل جریی فوق با روش تفاضلات محدود (Finite Deference) گام های مکانی را 0.5 در نظر می گیریم که در اینصورت IM=21 و JM=41 می باشد. در نتیجه توزیع دما را برای 741 گره بایستی پیدا کرد. شرایط اولیه را برای همه نقاط داخلی T=0 در نظر گرفته می شود.

کد برنامه MATLAB:

% ******************************************
% 2D Heat Equation Programming using MATLAB
% EngPedia.ir
% ******************************************

clear all
clc
n = 20;
m=40;
x = linspace(0,1,n+1); dx = x(2)-x(1);
y = linspace(0,2,m+1); dy =y(2)-y(1);
T(1,1:21) = 100; %BOTTOM
T(1:41,1) = 0;%LEFT
T(1:41,21) = 0; %RIGHT
T(41,1:21) = 0; %TOP
dt = dx^2/4;
for k=1:1:inf
Told = T;
for i = 2:m
for j = 2:n
T(i,j) = dt*((Told(i+1,j)-2*Told(i,j)+Told(i-1,j))/dx^2 …
+ (Told(i,j+1)-2*Told(i,j)+Told(i,j-1))/dy^2) …
+ Told(i,j);
end
end
error = max(max(abs(Told-T)));
if error <1e-2
break
end
end

iteration=k
subplot(2,1,1),contour(x,y,T),
title(‘Temperature (Steady State)’),xlabel(‘x’),ylabel(‘y’),colorbar
subplot(2,1,2),pcolor(x,y,T),shading interp,
title(‘Temperature (Steady State)’),xlabel(‘x’),ylabel(‘y’),colorbar

% ******************************************
% EngPedia.ir
% ******************************************

بیشتر بخوانید: حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی در MATLAB

برنامه با حلقه for نوشته شده است. در نهایت کانتورهای دما به شکل زیر در می آید.